Question

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在x軸上，短軸長與焦距相等，直線x+y-1=0與E相交于A，B兩點，與x軸相交于C點，且．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）如果橢圓E上存在兩點M，N關于直線l：y=4x+m對稱，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）設所求的橢圓E的方程為（c＞0），
A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），將y=x+1代入橢圓得3x²-4x+2-2c²=0，
∵，又C（1，0），
∴，
∴，
∴所求的橢圓E的方程為；

（Ⅱ）設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
則，，
又設MN的中點為（x₀，y₀），則以上兩式相減得：，
?，
又點（x₀，y₀）在橢圓內，∴，
即，化簡得：9m²-8＜0，
因式分解得：（3m+2）（3m-2）＜0，
解得：．
分析：（Ⅰ）根據短軸與焦距相等得到b與c相等，且a等于b，則b²=c²，a²=2c²設出橢圓的標準方程，設出已知直線與E的交點A與B的坐標，然后把直線方程代入到設出的橢圓方程中，消去y得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理得到兩個之和和兩根之積的關系式，同時利用求出C的坐標，和設出的A和B的坐標，由得到A與B橫坐標之間的關系式，三者聯立即可求出A與B的橫坐標及c的值，把c的值代入所設的橢圓方程即可得到橢圓E的方程；
（Ⅱ）設出橢圓E上兩點M與N的坐標，把設出的兩點坐標分別代入到（Ⅰ）求出的橢圓方程得到兩個關系式并設出MN的中點坐標，把兩個關系式相減并利用中點坐標公式化簡即可得到MN中點橫縱坐標之間的關系式，然后根據M與N關于直線l對稱得到MN的中點在直線l上，把MN的中點坐標代入直線l的方程又得到中點橫縱坐標之間的關系式，兩個關系式聯立即可求出橫縱坐標關于m的中點坐標，然后根據中點在橢圓內部，所以把中點坐標代入橢圓方程后其值小于1，列出關于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范圍．
點評：此題考查學生會求直線與曲線的交點坐標，掌握橢圓的簡單性質，會利用待定系數法求橢圓的標準方程，掌握一點在橢圓的內部所滿足的條件，靈活運用中點坐標公式及對稱知識解決實際問題，是一道綜合題．