Question

設函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）若b=-12，求f（x）在[1，3]的最小值；
（2）如果f（x）在定義域內既有極大值又有極小值，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）是否存在最小的正整數(shù)N，使得當n≥N時，不等式恒成立．

Answer 1

解：（1）由題意知，f（x）的定義域為（-1，+∞），
b=-12時，由，得x=2（x=-3舍去），
當x∈[1，2）時，f′（x）＜0，當x∈（2，3]時，f′（x）＞0，
所以當x∈[1，2）時，f（x）單調遞減；當x∈（2，3]時，f（x）單調遞增，
所以f（x）_min=f（2）=4-12ln3
（2）由題意在（-1，+∞）有兩個不等實根，
即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有兩個不等實根，
設g（x）=2x²+2x+b，則，解之得；
（3）對于函數(shù)f（x）=x²-ln（x+1），令函數(shù)h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1）
則，
∴當x∈[0，+∞）時，h′（x）＞0
所以函數(shù)h（x）在[0，+∞）上單調遞增，
又h（0）=0，
∴x∈（0，+∞）時，恒有h（x）＞h（0）=0
即x²＜x³+ln（x+1）恒成立．
取，則有恒成立．
顯然，存在最小的正整數(shù)N=1，使得當n≥N時，不等式恒成立
分析：（1）當b=-12時，由得x=2，可判斷出當x∈[1，2）時，f（x）單調遞減；當x∈（2，3]時，f（x）單調遞增，故f（x）在[1，3]的最小值在x=2時取得．
（2）要使f（x）在定義域內既有極大值又有極小值，即f（x）在定義域內與X軸有三個不同的交點，即使在（-1，+∞）有兩個不等實根，即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有兩個不等實根，可以利用一元二次函數(shù)根的分布可得，解之即可求b的范圍．
（3）先構造函數(shù)h（x）=x³-x²+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的單調性，求出函數(shù)h（x）的最小值，從而得到ln（x+1）＞x²-x³，最后令，即可證得結論．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)的單調性．第一問判斷f（x）在定義域的單調性即可求出最小值．第二問將f（x）在定義域內既有極大值又有極小值問題轉化為f（x）在定義域內與X軸有三個不同的交點是解題的關鍵，第三問的關鍵是構造新函數(shù)，利用導數(shù)證明不等式．