Question

已知O為坐標原點，A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）
（1）|+|=，且α∈（0，π），求α．
（2）在（1）條件下，求與的夾角；
（3）若•=-1，求sin2α的值．

Answer 1

解：（1））|+|=（3+cosα，sinα）
∴=9+6cosα+cos²α+sin²α=10+6cosα=13cosα=
∵α∈（0，π），∴α=．（3分）
（2）∵cos＜，＞===sinα=．（6分）
（3）∵=（cosα-3，sinα），=（cosα，sinα-3）．（8分）
∴•=cos²α-3cosα+sin²α-3sinα=1-3（sinα+cosα）=-1
∴sinα+cosα=（10分）
∴1+2sinαcosα=．
∴sin2α=-…（12分）
分析：（1）由已知中，A（3，0），C（cosα，sinα），我們可以求出向量+的坐標，進而根據(jù)|+|=，我們可以代入向量坐標公式，易構造關于α的三角方程，根據(jù)α∈（0，π），解三角方程即可求出α的值；
（2）由已知中B（0，3），結合（1）中的結論，代入向量夾角公式，cos＜，＞=，即可求出與的夾角的余弦，進而得到與的夾角；
（3）根據(jù)A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），由•=-1，我們易構造關于α的三角方程，化簡后，即可得到sin2α的值．
點評：本題考查的知識點是平面向量的模，平面向量的夾角公式，平面向量的數(shù)量積，同角三角函數(shù)的基本關系，二倍角公式等，是三角函數(shù)與向量的綜合應用，其中（1）的關鍵是確定向量+的坐標，（2）的關鍵是熟練掌握向量夾角公式，cos＜，＞=，（3）的關鍵是由已知條件構造關于α的三角函數(shù)方程．