Question

已知函數(shù)f（x）=ln

m+x

7-x

在其定義域上為奇函數(shù)．
（1）求m的值；
（2）若關于x的不等式f（-x²+ax+5）+f（x+2a）＜0對任意實數(shù)x∈[2，3]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,對數(shù)函數(shù)圖象與性質的綜合應用

專題：綜合題,函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由奇函數(shù)的定義得f（-x）=-f（x），即ln

m-x

7+x

=ln

7-x

m+x

，解出m注意檢驗；
（2）利用函數(shù)的奇偶性、單調性可去掉不等式中的符號“f”，化為-7＜x+2a＜x²-ax-5＜7對任意實數(shù)x∈[2，3]恒成立，分別分離出參數(shù)a后化為函數(shù)的最值可求結果；

解答： 解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
∴l(xiāng)n

m-x

7+x

=ln

7-x

m+x

，即m²=7²，∴m=±7，
當m=-7時，

-7+x

7-x

=-1＜0，舍；
當m=7時，f(x)=ln

7+x

7-x

，由

7+x

7-x

＞0得定義域為（-7，7）．
∴m=7．
（2）y=

7+x

7-x

=-1+

14

7-x

在（-7，7）是增函數(shù)，
∴f（x）在（-7，7）是增函數(shù)．
又∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x²+ax+5）+f（x+2a）＜0即f（x²-ax-5）＞f（x+2a），
∴-7＜x+2a＜x²-ax-5＜7對任意實數(shù)x∈[2，3]恒成立，
對于x+2a＜x²-ax-5，即x²-x-5＞a（x+2），
∵x+2＞0，∴a＜

x2-x-5

x+2

，
令g(x)=

x2-x-5

x+2

，g′（x）=

x2+4x+3

(x+2)2

＞0恒成立，
∴g（x）在[2，3]上遞增，
∴g（x）_min=g（2）=-

3

4

，則a＜-

3

4

；
對于-7＜x+2a，∵h（x）在[2，3]上遞增，∴h（x）_min=h（2）=2a+2＞-7，則a＞-

9

2

；
對于x²-ax-5＜7，即F（x）=x²-ax-12＜0，

F(2)=-2a-8＜0 F(3)=-3a-3＜0

，解得a＞-1；
綜上，實數(shù)a的取值范圍是-1＜a＜-

3

4

．

點評：該題考查函數(shù)恒成立、函數(shù)的單調性、奇偶性及其應用，考查轉化思想，考查學生解決問題的能力．