Question

【題目】如圖，是通過某城市開發(fā)區(qū)中心O的兩條南北和東西走向的街道，連結(jié)M，N兩地之間的鐵路線是圓心在上的一段圓弧，若點(diǎn)M在點(diǎn)O正北方向3公里；點(diǎn)N到的距離分別為4公里和5公里.

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求鐵路線所在圓弧的方程；

（2）若該城市的某中學(xué)擬在點(diǎn)O的正東方向選址建分校，考慮環(huán)境問題，要求校址到點(diǎn)O的距離大于4公里，并且鐵路上任意一點(diǎn)到校址的距離不能小于公里，求該校址距點(diǎn)O的最短距離（注：校址視為一個點(diǎn)）

Answer 1

【答案】（1）（；（2）.

【解析】

（1）以垂直的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)圓心坐標(biāo)為，由圓心到兩點(diǎn)的距離相等求出，即圓心坐標(biāo)，再求出半徑，可得圓方程，圓弧方程在圓方程中對變量加以限制即可。

（2）設(shè)校址坐標(biāo)為，，根據(jù)條件列出不等式，由函數(shù)單調(diào)性求最值解決恒成立問題。

（1）以直線為軸，為軸，建立如圖所求的直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)圓心為，則，解得。即，圓半徑為，∴圓方程為，

∴鐵路線所在圓弧的方程為（。

（2）設(shè)校址為，，是鐵路上任一點(diǎn)，

則對恒成立，即對恒成立，

整理得對恒成立，

記，

∵，∴，在上是減函數(shù)，

∴，即，解得。

即校址距點(diǎn)最短距離是。