(2007全國Ⅱ，22)已知函數(shù)，．

(1)求曲線y=f(x)在點M(t，f(t))處的切線方程；

(2)設a＞0，如果過點(a，b)作曲線y=f(x)的三條切線，

證明：－a＜b＜f(a)．

答案：略
解析：

解析：(1)求函數(shù)f(x)的導數(shù)．

曲線y=f(x)，在點M(t，f(t))處的切線方程為，

即．

(2)如果有一條切線過點(a，b)，則存在t，使．

于是，若過點(a，b)可作曲線y=f(x)的三條切線，

則方程．有三個相異的實數(shù)根．

記，則

當t變化時，g(t)，變化情況如下表：

由g(t)的單調(diào)性，當極大值a＋b＜0或極小值b－f(a)＞0時，方程g(t)=0最多有一個實數(shù)根；

當a＋b=0時，解方程g(t)=0，得，

即方程g(t)=0只有兩個相異的實數(shù)根；當b－f(a)=0時，解方程g(t)=0，得，t=a，即方程g(t)=0，只有兩個相異的實數(shù)根．

綜上，如果過(a，b)可作曲線y=f(x)三條切線，即g(t)=0有三個相異的實數(shù)根，則

即－a＜b＜f(a)．


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