Question

（1）求點(diǎn)P（1，2）關(guān)于直線x-y-1=0的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）求直線x+3y-1=0關(guān)于x-y+1=0的對稱直線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對稱的直線方程

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)點(diǎn)P（1，2）關(guān)于直線x-y-1=0的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x₀，y₀），PQ的中點(diǎn)M（

1+x0

2

，

2+y0

2

）在直線x-y-1=0上，設(shè)直線PQ的斜率為k，列方程組即可解得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）依題意，可求得直線x+3y-1=0與直線x-y+1=0的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，在直線直線x+3y-1=0上取一點(diǎn)A（1，0），則同理可求點(diǎn)A（1，0）關(guān)于直線x-y+1=0的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式即可求得答案．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)P（1，2）關(guān)于直線x-y-1=0的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則PQ的中點(diǎn)M（

1+x0

2

，

2+y0

2

）在直線x-y-1=0上，設(shè)直線PQ的斜率為k，
∵直線x-y-1=0的斜率為1，該直線與直線PQ垂直，
∴k=-1，
∴

1+x0 2 - 2+y0 2 -1=0 2+y0 2 -2 1+x0 2 -1 =-1

，解得

x0=3 y0=0

，
∴點(diǎn)P（1，2）關(guān)于直線x-y-1=0的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，0）．
（2）由

x+3y-1=0 x-y+1=0

得

x=- 1 2 y= 1 2

，即直線x+3y-1=0與直線x-y+1=0的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（-

1

2

，

1

2

），
設(shè)直線x+3y-1=0關(guān)于x-y+1=0的對稱直線為l，則l必過P（-

1

2

，

1

2

）；
在直線直線x+3y-1=0上取一點(diǎn)A（1，0），則同理可求點(diǎn)A（1，0）關(guān)于直線x-y+1=0的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（-1，2），
∴直線l的斜率k′=

2- 1 2

-1-(- 1 2 )

=-3，
∴直線x+3y-1=0關(guān)于x-y+1=0的對稱直線的方程為：y-2=-3（x+1），
整理得：3x+y+1=0．

點(diǎn)評：本題考查與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對稱的直線方程，考查等價轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．