【題目】關(guān)于函數(shù),給出以下四個(gè)命題,其中真命題的序號(hào)是_______.
①時(shí),
單調(diào)遞減且沒有最值;
②方程一定有解;
③如果方程有解,則解的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù);
④是偶函數(shù)且有最小值.
【答案】②④
【解析】
①將函數(shù)表示為分段函數(shù),結(jié)合分式型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷;②由函數(shù)
是偶函數(shù),在
且
時(shí),判定函數(shù)
與函數(shù)
在
時(shí)有唯一交點(diǎn),同理得出,當(dāng)
且
時(shí),函數(shù)
與函數(shù)
在
時(shí)有交點(diǎn),從而可得方程
有解;③求方程
的解,即可判斷出命題③的正誤;④利用偶函數(shù)的定義判定函數(shù)
為偶函數(shù),再利用絕對(duì)值的性質(zhì)得出
且
,即可判斷出命題④的正誤.
對(duì)于命題①,當(dāng)時(shí),
.
當(dāng)時(shí),
,則函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,此時(shí),
,當(dāng)
時(shí),
,
當(dāng)時(shí),
,則函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,
所以,當(dāng)時(shí),函數(shù)
不單調(diào)且沒有最值,命題①錯(cuò)誤;
對(duì)于命題②,當(dāng)時(shí),
,當(dāng)
時(shí),
,
當(dāng)時(shí),構(gòu)造函數(shù)
,
則函數(shù)在
上單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),
,當(dāng)
時(shí),
,
所以,函數(shù)在
上有且只有一個(gè)零點(diǎn),
即當(dāng)時(shí),方程
在
上有解.
函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
,則函數(shù)
為偶函數(shù),
同理可知,當(dāng)時(shí),方程
在
上有解.
所以,命題②正確;
對(duì)于命題③,當(dāng)時(shí),令
,解得
,則命題③錯(cuò)誤;
對(duì)于命題④,由②可知,函數(shù)是偶函數(shù),由絕對(duì)值的性質(zhì)可知
且
,則函數(shù)
為偶函數(shù)且最小值為
,命題④正確.
因此,正確命題的序號(hào)為②④.
故答案為:②④.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且acos C+asin C-b-c=0.
(1)求A;
(2)若AD為BC邊上的中線,cos B=,AD=
,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間
上零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)函數(shù)在區(qū)間
上的極值點(diǎn)從小到大分別為
,證明:
(Ⅰ);
(Ⅱ)對(duì)一切成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)與
在給定的區(qū)間上滿足
恒成立,則稱這兩個(gè)函數(shù)在該區(qū)間上“和諧”。
(1)若函數(shù)與
在R上和諧,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若函數(shù)與
在
上和諧,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合,集合
,集合
.
(1)用列舉法表示集合C;
(2)設(shè)集合C的含n個(gè)元素所有子集為,記有限集合M的所有元素和為
,求
的值;
(3)已知集合P、Q是集合C的兩個(gè)不同子集,若P不是Q的子集,且Q不是P的子集,求所有不同的有序集合對(duì)的個(gè)數(shù)
;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“割圓術(shù)”是劉徽最突出的數(shù)學(xué)成就之一,他在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù),并作為計(jì)算圓的周長(zhǎng),面積已經(jīng)圓周率的基礎(chǔ),劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形,并由此而求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個(gè)近似數(shù)值,這個(gè)結(jié)果是當(dāng)時(shí)世界上圓周率計(jì)算的最精確數(shù)據(jù).如圖,當(dāng)分割到圓內(nèi)接正六邊形時(shí),某同學(xué)利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法向圓內(nèi)隨機(jī)投擲點(diǎn),計(jì)算得出該點(diǎn)落在正六邊形內(nèi)的頻率為0.8269,那么通過該實(shí)驗(yàn)計(jì)算出來的圓周率近似值為(參考數(shù)據(jù):)
A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是函數(shù)在區(qū)間
上的圖象,為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象,只需將
的圖象上的所有的點(diǎn)( )
A.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>
,縱坐標(biāo)不變
B.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍,縱坐標(biāo)不變
C.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>
,縱坐標(biāo)不變
D.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍,縱坐標(biāo)不變
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2018湖北七市(州)教研協(xié)作體3月高三聯(lián)考】已知橢圓:
的左頂點(diǎn)為
,上頂點(diǎn)為
,直線
與直線
垂直,垂足為
點(diǎn),且點(diǎn)
是線段
的中點(diǎn).
(I)求橢圓的方程;
(II)如圖,若直線:
與橢圓
交于
,
兩點(diǎn),點(diǎn)
在橢圓
上,且四邊形
為平行四邊形,求證:四邊形
的面積
為定值.
【答案】(I);(II)
【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意可得,
故斜率為
,由直線
與直線
垂直,可得
,因?yàn)辄c(diǎn)
是線段
的中點(diǎn),∴點(diǎn)
的坐標(biāo)是
,
代入直線得,連立方程即可得
,
;(2)∵四邊形
為平行四邊形,∴
,設(shè)
,
,
,∴
,得
,將
點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓
方程得
,
點(diǎn)到直線
的距離為
,利用弦長(zhǎng)公式得EF,則平行四邊形
的面積為
.
解析:(1)由題意知,橢圓的左頂點(diǎn)
,上頂點(diǎn)
,直線
的斜率
,
得,
因?yàn)辄c(diǎn)是線段
的中點(diǎn),∴點(diǎn)
的坐標(biāo)是
,
由點(diǎn)在直線
上,∴
,且
,
解得,
,
∴橢圓的方程為
.
(2)設(shè),
,
,
將代入
消去
并整理得
,
則,
,
,
∵四邊形為平行四邊形,∴
,
得,將
點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓
方程得
,
點(diǎn)到直線
的距離為
,
,
∴平行四邊形的面積為
.
故平行四邊形的面積
為定值
.
【題型】解答題
【結(jié)束】
21
【題目】已知函數(shù),
.
(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)
的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),求證:函數(shù)
有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)
,
,且
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距與短軸長(zhǎng)相等,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為
,設(shè)過右焦點(diǎn)F傾斜角為
的直線交橢圓M于A、B兩點(diǎn).
(1)求橢圓M的方程;
(2)求證:
(3)設(shè)過右焦點(diǎn)F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C、D,求四邊形ABCD面積的最小值.
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