Question

（12分）一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M，N分別是AB，AC的中點，G是DF上的一動點．

    （Ⅰ）求證：GN⊥AC；

    （Ⅱ）若點G是DF的中點，求證：GA∥平面FMC．

 

Answer 1

【答案】

 

(I)證明：見解析；  (II) 證明：見解析。

【解析】本試題主要考查了三視圖和立體幾何中的線線垂直和線面平行的綜合運用。利用三視圖還原幾何體，并能理解空間中的線面的位置關系，線線位置關系的運用。

（1）根據(jù)由三視圖可得直觀圖為直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC，然后利用B、N、D共線，得到線線垂直的證明。

（2）要證明線面平行，先證明面面平行，利用面面平行的性質定理得到結論，關鍵是得到面GSA // 面FMC

(I)證明：由三視圖可得直觀圖為直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC……………1分

連接DB，可知B、N、D共線，且AC⊥DN………………3分

     又FD⊥AD  FD⊥CD，

FD⊥面ABCD

FD⊥AC   ………………5分

     AC⊥面FDN 

     GN⊥AC    ………………6分

  (II) 證明：取DC中點S，連接AS、GS、GA

     G是DF的中點，GS//FC，AS//CM    ………………9分

     面GSA // 面FMC………………10分

      

      GA // 面FMC   ………………12分