Question

已知二次函數(shù)y=ax²+2x+c（c＞0）的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行，若二次函數(shù)圖上的動點P到直線y=2x的最小距離為，則二次函數(shù)的解析式為________．

Answer 1

y=x²+2x+5
分析：由已知中二次函數(shù)y=ax²+2x+c（c＞0）的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行，我們求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)后，易求出a值，又由二次函數(shù)圖上的動點P到直線y=2x的最小距離為，我們結(jié)合c＞0，我們易得函數(shù)y=ax²+2x+c（c＞0）的圖象與直線y=2x+5相切，聯(lián)立方程后，可得c值，代入即可求出函數(shù)的解析式．
解答：∵二次函數(shù)y=ax²+2x+c（c＞0）
∴y'=2ax+2（c＞0）
又二次函數(shù)y=ax²+2x+c（c＞0）的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行，
∴2a=2
∴a=1
又∵二次函數(shù)圖上的動點P到直線y=2x的最小距離為
則函數(shù)y=ax²+2x+c（c＞0）的圖象與直線y=2x+5相切
解得c=5
故y=x²+2x+5
故答案為：y=x²+2x+5
點評：本題考查的知識點是函數(shù)的解析式的求法，導(dǎo)數(shù)的求法，直線平行的性質(zhì)及曲線到直線最小距離，其中根據(jù)已知構(gòu)造關(guān)于a，c的方程是解答本題的關(guān)鍵．