Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3，且a_n+1=2a_n-1（n∈N^*）．
（1）求證數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式a_n．
（2）令，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）將a_n+1=2a_n-1轉(zhuǎn)化a_n+1-1=2（a_n-1），構(gòu)造出有特殊性質(zhì)的數(shù)列{a_n-1}，再去解決．
（2）將（1）所求的通項公式代入bn，化簡整理，根據(jù)bn的表示式?jīng)Q定求和方法．
解答：解：（1）∵a_n+1=2a_n-1，兩邊同時減去1，得
a_n+1-1=2（a_n-1），又a₁-1=2
∴{a_n-1}是以a₁-1=2為首項，q=2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n-1=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ+1（n∈N^*）
（2）證明：∵a_n=2ⁿ+1（n∈N^*），
∴
∴
點評：本題考查等比數(shù)列定義，前項和公式，考查轉(zhuǎn)化能力，計算能力．凡是形如a_n+1=pa_{n+q均可通過兩端加上合適的常數(shù)，轉(zhuǎn)化構(gòu)造出等比數(shù)列}．