【題目】已知橢圓:
的離心率為
,且與拋物線
交于
,
兩點(diǎn),
(
為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(非長軸端點(diǎn))
,
為左、右焦點(diǎn),
的延長線與橢圓交于
點(diǎn),
的延長線與橢圓交于
點(diǎn),求
面積的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)由題意求得a,b,c的值即可確定橢圓方程;
(2)分類討論直線的斜率存在和斜率不存在兩種情況,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理和均值不等式即可確定三角形面積的最大值.
(1)橢圓與拋物線
交于
,
兩點(diǎn),
可設(shè),
,
∵的面積為
,
∴,解得
,∴
,
,
由已知得,解得
,
,
,
∴橢圓的方程為
.
(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),不妨取
,
,
,故
;
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線
的方程為
,
,
,
聯(lián)立方程,化簡得
,
則,
,
,
,
點(diǎn)到直線
的距離
,
因?yàn)?/span>是線段
的中點(diǎn),所以點(diǎn)
到直線
的距離為
,
∴
∵,又
,所以等號(hào)不成立.
∴,
綜上,面積的最大值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin(θ+
).
(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線l與曲線C交于M,N兩點(diǎn),求△MON的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于給定的正整數(shù)k,若正項(xiàng)數(shù)列滿足
,對任意的正整數(shù)n(
)總成立,則稱數(shù)列
是“
數(shù)列”.
(1)證明:若是正項(xiàng)等比數(shù)列,則
是“
數(shù)列”;
(2)已知正項(xiàng)數(shù)列既是“
數(shù)列”,又是“
數(shù)列”,
①證明:是等比數(shù)列;
②若,
,且存在
,使得
為數(shù)列
中的項(xiàng),求q的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知的直角頂點(diǎn)
在
軸上,點(diǎn)
為斜邊
的中點(diǎn),且
平行于
軸.
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線
,直線
與
的另一個(gè)交點(diǎn)為
.以
為直徑的圓交
軸于
即此圓的圓心為
,
求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.曲線
在
處的切線平行于
軸.
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若時(shí),
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】古人云:“腹有詩書氣自華.”為響應(yīng)全民閱讀,建設(shè)書香中國,校園讀書活動(dòng)的熱潮正在興起.某校為統(tǒng)計(jì)學(xué)生一周課外讀書的時(shí)間,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)査,統(tǒng)計(jì)了他們一周課外讀書時(shí)間(單位:
)的數(shù)據(jù)如下:
一周課外讀書時(shí)間/ | 合計(jì) | |||||||||
頻數(shù) | 4 | 6 | 10 | 12 | 14 | 24 | 46 | 34 | ||
頻率 | 0.02 | 0.03 | 0.05 | 0.06 | 0.07 | 0.12 | 0.25 | 0.17 | 1 |
(1)根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù),求,
,
的值并估算一周課外讀書時(shí)間的中位數(shù).
(2)如果讀書時(shí)間按,
,
分組,用分層抽樣的方法從
名學(xué)生中抽取20人.
①求每層應(yīng)抽取的人數(shù);
②若從,
中抽出的學(xué)生中再隨機(jī)選取2人,求這2人不在同一層的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】袋中裝有9只球,其中標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的小球各2個(gè),標(biāo)數(shù)字5的小球有1個(gè).從袋中任取3個(gè)小球,每個(gè)小球被取出的可能性都相等,用表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字.
(1)求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率;
(2)求隨機(jī)變量的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)證明:.
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