Question

已知函數f（x）=

1+a•2x

2x+b

是奇函數，并且函數f（x）的圖象經過點（1，3）．
（Ⅰ）求實數a，b的值；
（Ⅱ）求函數f（x）在x＜0時的值域．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）根據題意和奇函數的性質可得：f（1）=3、f（-1）=-3，列出關于a、b的方程組，求出a、b的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出f（x）的解析式，由x＜0和指數函數的單調性得：0＜2^x＜1，再求出函數f（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）因為函數f（x）的圖象經過點（1，3），
所以f（1）=3，即

1+2a

2+b

=3，①
因為f（x）=

1+a•2x

2x+b

是奇函數，
所以f（-1）=-3，即

1+ 1 2 a

1 2 +b

=-3，②
由①②解得a=1，b=-1，
所以實數a，b的值為1、-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f(x)=

1+2x

2x-1

=1+

2

2x-1

，
又x＜0，則0＜2^x＜1，-1＜2^x-1＜0，
所以

2

2x-1

＜-2，即1+

2

2x-1

＜-1，
故函數f（x）在x＜0時的值域為（-∞，-1）．

點評：本題考查奇函數的性質，指數函數的性質的綜合應用，考查待定系數法求函數的解析式．