Question

拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)M（，-）且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)⊥，若點(diǎn)C位于拋物線的弧AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）上則△ABC的面積最大值為（ ）
A．
B．5
C．10
D．20

Answer 1

【答案】分析：F（1，0），M（，-），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）及⊥可求直線AB的斜率，把直線AB的方程與拋物線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與想系數(shù)關(guān)系可求|AB|，當(dāng)過C點(diǎn)的切線與AB平行時(shí)，△ABC面積取最大，設(shè)此直線方程為y=x+b代入y²=4x由△=0可求b，進(jìn)而可求C到AB距離d，代入面積公式可求
解答：解：∵F（1，0），M（，-），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴，
∵⊥
∴
∴
∴直線AB的斜率為1，AB的方程為y=x-4代入y²=4x得x²-12x+16=0
∴x₁+x₂=12，x₁x₂=16
∴=
∴
當(dāng)過C點(diǎn)的切線與AB平行時(shí)，△ABC面積取最大值設(shè)此直線方程為
把y=x+b代入y²=4x得x²+（2b-4）x+b²=0
△=（2b-4）²-4b²=00
∴b=1
∴C（1，2）到AB距離為
∴=
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與拋物線相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的跟與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，綜合的知識(shí)較多，要求考生具備一定靈活應(yīng)用知識(shí)的能力