橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，且過(guò)點(diǎn)A（2，1）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線(xiàn)l：x-1-y=0與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，求|MN|的值．
分析：（1）由題意得到C：
x2
4b2
+
y2
b2
=1，代入A點(diǎn)坐標(biāo)求出b的值，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；
（2）聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后利用根與系數(shù)關(guān)系寫(xiě)出兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，最后由弦長(zhǎng)公式求解．
解答：解：（1）由條件a=2b，所以C：
x2
4b2
+
y2
b2
=1，代入點(diǎn)（2，1）可得b=
2
，
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
8
+
y2
2
=1；
（2）聯(lián)立
x-1-y=0
x2
8
+
y2
2
=1
，得5x2-8x-4=0，
所以x1+x2=
8
5
，x1x2=-
4
5

由相交弦長(zhǎng)公式可得|MN|=
1+12
|x1-x2|．
=
2
(x1+x2)2-4x1x2
=
2
(
8
5
)2-4×(-
4
5
)
=
12
2
5
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線(xiàn)和橢圓的關(guān)系，練習(xí)了弦長(zhǎng)公式，是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

一條斜率為1的直線(xiàn)l與離心率e=
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P、Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)l與y軸交于點(diǎn)R，且
.
OP
•
.
OQ
=-3，
.
PR
=3
.
RQ
，求直線(xiàn)l和橢圓C的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，上、下頂點(diǎn)為B2，B1，點(diǎn)P（
3
5
a，m）（m＞0）是橢圓C上一點(diǎn)，PO⊥A2B2，直線(xiàn)PO分別交A1B1、A2B2于點(diǎn)M、N．
（1）求橢圓離心率；
（2）若MN=
4
21
7
，求橢圓C的方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)R點(diǎn)是橢圓C上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，RQ平分∠F1RF2且與y軸交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
，過(guò)橢圓C上一點(diǎn)P（2，1）作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線(xiàn)，分別與橢圓交于點(diǎn)A、B，直線(xiàn)AB與x軸交于點(diǎn)M，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直線(xiàn)AB的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左焦點(diǎn)為F1（-1，0），右焦點(diǎn)為F2（1，0），短軸兩個(gè)端點(diǎn)為A、B．與x軸不垂直的直線(xiàn)l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N，記直線(xiàn)AM、AN的斜率分別為k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證直線(xiàn)l與y軸相交于定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）當(dāng)弦MN的中點(diǎn)P落在△MF1F2內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線(xiàn)l的斜率的取值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-2，0），B（2，0），離心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若直線(xiàn)l：y=k（x-1）（k≠0）與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，證明直線(xiàn)AM與直線(xiàn)BN的交點(diǎn)在直線(xiàn)x=4上．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案