已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，右頂點為A，上頂點B到兩焦點F1，F(xiàn)2的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(0，
2
)且斜率k為的直線l與橢圓C交于不同的兩點P，Q，是否存在k，使得向量
OP
+
OQ
與
AB
垂直？若存在，試求出k的值；若不存在，請說明理由．
分析：（Ⅰ）根據(jù)題意的離心率為
3
2
，右頂點為A，上頂點B到兩焦點F1，F(xiàn)2的距離之和為4，建立方程，求得橢圓的幾何量，從而可得橢圓的方程；
（Ⅱ）將直線與橢圓方程聯(lián)立，求出向量
OP
+
OQ
與
AB
的坐標，利用向量
OP
+
OQ
與
AB
垂直，及判別式即可求得結論．
解答：解：（Ⅰ）依題意，得2a=4，
c
a
=
3
2

∴a=2，c=
3

∴b=1，∴橢圓C的方程為：
x2
4
+y2=1…（5分）
（Ⅱ）設l：y=kx+
2
，由
y=kx+
2
x2+4y2=4
消去y，可得：(1+4k2)x2+8
2
kx+4=0△=128k2-16(1+4k2)＞0⇒|k|＞
1
2
．               …（6分）
設P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中點M(
x
 
0
，y0)
則x1+x2=-
8
2
k
1+4k2
，x1•x2=
4
1+4k2
∴x0=
x1+x2
2
=-
4
2
k
1+4k2
，y0=
y1+y2
2
=k•
x1+x2
2
+
2
=
2
1+4k2

所以
OP
+
OQ
=2
OM
=2(-
4
2
k
1+4k2
，
2
1+4k2
)
又A（2，0），B（0，1），∴
AB
=（-2，1），
∵
OP
+
OQ
與
AB
垂直，∴可得
OM
•
AB
=0
∴8
2
k+
2
=0
∴k=-
1
8

這與|k|＞
1
2
矛盾，故不存在．                                  …（12分）
點評：本題考查橢圓的定義和離心率，直線與橢圓的位置關系，韋達定理，向量垂直的坐標運算，存在性等，以及分析推理運算能力．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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