Question

某投資公司投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目所獲得的利潤(rùn)分別P（億元）Q（億元），它們與各自的投資金x（億元）之間的關(guān)系分別P（x）=

1

8

2x

Q（x）=

1

16

x，今該公司將5億元的資金投向這兩個(gè)項(xiàng)目（允許全部投向某一個(gè)項(xiàng)目），其中對(duì)甲項(xiàng)目投資x（億元），此次投資所獲得的總利潤(rùn)為y（億元）．
（Ⅰ）寫y關(guān)x的函數(shù)表達(dá)式并注明函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）求總利潤(rùn)的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)甲項(xiàng)目投資x億元，則乙項(xiàng)目投資（3-x）億元，這兩個(gè)項(xiàng)目所獲得的總利潤(rùn)為y=M（億元）+N（億元），由經(jīng)驗(yàn)公式代入整理即可；
（2）用換元法，再利用配方法，即可求總利潤(rùn)的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)甲項(xiàng)目投資x億元，則乙項(xiàng)目投資（5-x）億元，這兩個(gè)項(xiàng)目所獲得的總利潤(rùn)為：y=

1

8

2x

+

1

16

（5-x），x∈[0，5]；
（Ⅱ）設(shè)t=

2x

，t∈[0，

10

]，則x=

1

2

t²，
∴y=

1

16

(2t+5-

1

2

t2)=-

1

32

(t-2)2+

7

16

；
∴當(dāng)t=2，即x=2時(shí)，y有最大值為

7

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題用換元法得到一元二次函數(shù)的解析式，所以利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最大值，是基礎(chǔ)題．