Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一條準(zhǔn)線被它的兩條漸近線截得線段的長度等于它的一個焦點到一條漸近線的距離，則雙曲線的兩條漸近線的夾角為

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)雙曲線的方程求和雙曲線的焦點坐標(biāo)，漸近線方程及準(zhǔn)線方程，把準(zhǔn)線方程與漸近線方程聯(lián)立求得交點的縱坐標(biāo)，則兩交點的距離可求，同時利用點到直線的距離求得焦點到漸近線的距離，讓二者相等求得a和c的關(guān)系，進而求得a和b的關(guān)系，則漸近線的斜率可求得，進而求得漸近線的傾斜角，最后求得二者的夾角．

解答：解：根據(jù)雙曲線方程可知其漸近線方程為y=±

b

a

x，準(zhǔn)線方程為x=±

a 2

c

∴準(zhǔn)線被它的兩條漸近線截得線段的長度等為2•

a2

c

•

b

a

=

2ab

c

焦點坐標(biāo)為（c，0），則焦點到漸近線方程的距離為

bc

a2+b2

=b
∴b=

2ab

c

，整理得2a=c
∴b=

4a2-a2

=

3

a
∴漸近線方程為y=±

3

x
∴漸近線傾斜角為60°和120°
∴兩條漸近線的夾角為60°
故答案為：60°

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合分析問題的能力，以及轉(zhuǎn)化和化歸思想的運用．