考點(diǎn):數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式,數(shù)列與不等式的綜合
專(zhuān)題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;
(2)由(1)可得a
n+1=
×()n-1.由b
1=1,且
-=1.利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得T
n=n
2.利用n≥2時(shí),b
n=T
n-T
n-1可得b
n=2n-1.即可得出
=n×4
n.設(shè)H
n=
++…
+=1×4+2×4
2+3×4
3+…+n×4
n,利用“錯(cuò)位相減法”可得H
n,對(duì)任意的n∈N
*,使得不等式
++…
+≥
恒成立?m≤[(a
n+1)H
n]
min,解出即可.
解答:
解:(1)∵a
1=t(t≠-1),S
n+2a
n+1+n+1=0,
∴t+2a
2+2=0,解得a
2=
-;
t-+2a
3+3=0,解得a
3=
-,
∵數(shù)列{a
n+1}為等比數(shù)列,
∴
(a2+1)2=(a1+1)(a3+1),
∴
(1-)2=(t+1)
(1-),
化為2t
2+t=0,
解得t=0或-
.
其中t=0舍去.
∴t=-
.
(2)由(1)可得
=
=
.
a
n+1=
(1-)×
()2=
×()n-1.
∵b
1=1,且
-=1.
∴數(shù)列
{}為等差數(shù)列,
=1為首項(xiàng),公差為1,
∴
=1+(n-1)×1,
∴T
n=n
2.
∴n≥2時(shí),b
n=T
n-T
n-1=n
2-(n-1)
2=2n-1,n=1時(shí)也成立.
∴b
n=2n-1.
∴
=
=n×4
n.
∴設(shè)H
n=
++…
+=1×4+2×4
2+3×4
3+…+n×4
n,
∴4H
n=1×4
2+2×4
3+…+(n-1)×4
n+n×4
n+1,
∴-3H
n=4+4
2+4
3+…+4
n-n×4
n+1=
-n×4
n+1=
-n×4n+1,
∴H
n=
.
不等式
++…
+≥
?m≤
×()n-1×=
.
∵
+(3n-1)的最小值是
+2,
∴m的最大值為2.
∴實(shí)數(shù)m的最大值是2.
點(diǎn)評(píng):本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推式的應(yīng)用,考查了恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.