Question

已知關(guān)于x的方程x²+2mx+m+2=0．
（1）m為何值時，方程有實根？
（2）m為何值時，方程有一正一負兩實根？
（3）m為何值時，方程有兩正實根？
（4）m為何值時，方程有一實根大于1，一實根小于1？

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用判別式直接判斷有無實根；（2）（3）（4）利用根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式得出關(guān)于k的不等式進而求出即可

解答： 解：（1）因為△=4m²-4（m+2）≥0，解得：m≤-1或m≥2．
（2）設(shè)方程x²+2mx+m+2=0有兩根x₁，x₂，
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式可得：
△=4m²-4（m+2）＞0，x₁•x₂=m+2＜0
解得：m＜-2．
（3）設(shè)方程x²+2mx+m+2=0有兩根x₁，x₂，
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式可得：
△=4m²-4（m+2）＞0，x_1•x₂＞0，x₁+x₂=-2m＞0
解得：m＞2．
（4）設(shè)方程x²+2mx+m+2=0有兩根x₁，x₂，不防設(shè)x₁＜x₂，則x₁1，
∴（x₁-1）•（x₂-1）＜0，
即x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=m+2+2m+1＜0，
解得：m＜-1．

點評：本題考查的知識點是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式等知識，其中由韋達定理（一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系）結(jié)合已知，構(gòu)造出關(guān)k的不等式組是解答本題的關(guān)鍵．