Question

【題目】設(shè)四邊形為矩形，點為平面外一點，且平面，若，.

（1）求與平面所成角的大小；

（2）在邊上是否存在一點，使得點到平面的距離為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；

（3）若點是的中點，在內(nèi)確定一點，使的值最小，并求此時的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）、、三點共線，

【解析】

（1）由題意可得:，，所以平面，可得與平面所成角既為，再利用解三角形的有關(guān)知識即可求出答案.
（2）假設(shè)邊上存在一點G滿足題設(shè)條件，作，則平面，可得，進而得到，然后根據(jù)題意可得此點G符合題意.
（3）作出點C關(guān)于面PAB的對稱點，連接交面PAB的點H，點H就是所求的點，再運用平面幾何知識可求得HB的長.

(1)因為平面，平面，所以，又因為底面是矩形，所以，

所以由線面垂直的判定定理可得:平面，所以與平面所成角既為，
又由題意可得:，，所以.

所以與平面所成角的大小為.
(2)假設(shè)邊上存在一點G滿足題設(shè)條件，作，

則平面，

所以.，

故存在點G，當(dāng)時，使點D到平面的距離為.

（3）延長CB到，使，因為平面，平面，所以，

又因為底面是矩形，

所以，
所以由線面垂直的判定定理可得:平面，

則是點C關(guān)于面的對稱點，

連接，交面于H，

則點H是使的值最小時，在面上的一點.

作于M，則點M是AD的中點，連接交AB于N，連接HN，

則，

所以，

又，

所以，而，

所以.

所以.