Question

已知向量

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)，|

a

-

b

|=

2 5

5

．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若0＜α＜

π

2

，AH⊥BE，且sinβ=-

5

13

，求sinα．

Answer 1

分析：（1）根據平面向量的減法法則，表示出

a

-

b

，進而表示出|

a

-

b

|，代入已知的|

a

-

b

|=

2 5

5

，兩邊平方后利用同角三角函數(shù)間的基本關系化簡，得到關于cos（α-β）的方程，求出方程的解即可得到cos（α+β）的值；
（2）根據sinβ=-

5

13

小于0，得到β的范圍，再由α的范圍，求出α-β的范圍，然后由（1）求出的cos（α-β）的值及sinβ的值，分別利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sin（α-β）的值和cosβ的值，把所求式子中的α變?yōu)椋é?β）-β，利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡，將各自的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)，
∴

a

-

b

=(cosα-cosβ，sinα-sinβ)．
∵|

a

-

b

|=

2 5

5

，
∴

(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2

=

2 5

5

，即2-2cos(α-β)=

4

5

，
∴cos(α-β)=

3

5

．（7分）
（2）∵0＜α＜

π

2

， -

π

2

＜β＜0， ∴0＜α-β＜π，
∵cos(α-β)=

3

5

，∴sin(α-β)=

4

5

．
∵sinβ=-

5

13

，∴cosβ=

12

13

，
∴sinα=sin[（α-β）+β]
=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ
=

4

5

•

12

13

+

3

5

•(-

5

13

)=

33

65

（14分）

點評：此題考查了平面向量的坐標運算，同角三角函數(shù)間的基本關系，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式．學生在利用同角三角函數(shù)基本關系時注意角度的范圍，其中變形α=（α-β）+β是解本題的關鍵．