Question

如圖1，在四棱錐中，底面，面為正方形，為側棱上一點，為上一點．該四棱錐的正（主）視圖和側（左）視圖如圖2所示．

（Ⅰ）求四面體的體積；

（Ⅱ）證明：∥平面；

（Ⅲ）證明：平面平面．

 

Answer 1

【答案】

（Ｉ）；（ＩＩ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析．

【解析】

試題分析：（I）根據三視圖等條件，求出棱錐底面積和高，可求體積；（II）在面PFC內找一直線平行AE即可證明∥平面；（III）證平面平面只需證明平面過平面的一條垂線即可.

試題解析：（Ⅰ）解：由左視圖可得 為的中點，

所以 △的面積為 ．      1分

因為平面，                    2分

所以四面體的體積為

                       3分

．                      4分

（Ⅱ）證明：取中點，連結，．                                   5分

由正（主）視圖可得 為的中點，所以∥，．       6分

又因為∥，， 所以∥，．

所以四邊形為平行四邊形，所以∥．                        8分

因為 平面，平面，

所以 直線∥平面．                                             9分

（Ⅲ）證明：因為 平面，所以 ．

因為面為正方形，所以 ．

所以 平面．                                                11分

因為 平面，所以 ．      

因為 ，為中點，所以 ．

所以 平面．                                               12分

因為 ∥，所以平面．                                13分

因為 平面， 所以 平面平面.                    14分

考點：棱錐體積公式，線面平行，面面垂直.