Question

如圖，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．

(1) 證明：PA⊥BD；

(2) 若PD＝AD，求二面角A­PB­C的余弦值．

Answer 1

 (1)證明：因?yàn)椤?i>DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.

從而BD²＋AD²＝AB²，故BD⊥AD.

又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.又AD∩PD＝D.所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.

(2)  解：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線

DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D­xyz，則

A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0,0,1)．

＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)．

設(shè)平面PAB的法向量為n＝(x，y，z)，

則即因此可取n＝(，1，)．

設(shè)平面PBC的法向量為m，則可取m＝(0，－1，－)，

則cos〈m，n〉＝＝－.故二面角A­PB­C的余弦值為－.