Question

設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n+2=-b_n+1-b_n（n∈N^*），b₂=2b₁．
（1）若b₃=3，求b₁的值；
（2）求證數(shù)列{b_nb_n+1b_n+2+n}是等差數(shù)列；
（3）設(shè)數(shù)列{T_n}滿足：T_n+1=T_nb_n+1（n∈N^*），且T₁=b₁=-

1

2

，若存在實數(shù)p，q，對任意n∈N^*都有p≤T₁+T₂+T₃+…+T_n＜q成立，試求q-p的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,壓軸題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）直接由已知b₃=3結(jié)合題目給出的數(shù)列遞推式求b₁的值；
（2）由b_n+2=-b_n+1-b_n，b_n+3=-b_n+2-b_n+1，作差后得到b_n+3=b_n，進(jìn)一步利用作差法證明數(shù)列{b_nb_n-1b_n-2+n}是等差數(shù)列；
（3）由T_n+1=T_n•b_n+1=T_n-1b_nb_n+1=T_n-2b_n-1b_nb_n+1=…=b₁b₂b₃…b_n+1，得到當(dāng)n≥2時，T_n=b₁b₂b₂…b_n，然后推出數(shù)列{T_3n-2+T_3n-1+T_3n）（n∈N^*）是等比數(shù)列，求出其前n項和S_n=T₁+T₂+T₃+…+T_n，再對n分當(dāng)n=3k（k∈N^*）時，當(dāng)n=3k-1（k∈N^*）時，當(dāng)n=3k-2（k∈N^*）時具體求和，最后利用放縮法得答案．

解答： （1）解：∵b_n+2=-b_n+1-b_n，
∴b₃=-b₂-b₁=-3b₁=3，
∴b₁=-1；
（2）證明：∵b_n+2=-b_n+1-b_n ①，
∴b_n+3=-b_n+2-b_n+1 ②，
②-①得b_n+3=b_n，
∴（b_n+1b_n+2b_n+3+n+1）-（b_nb_n+1b_n+2+n）=b_n+1b_n+2（b_n+3-b_n）+1=1為常數(shù)，
∴數(shù)列{b_nb_n+1b_n+2+n}是等差數(shù)列；
（3）解：∵T_n+1=T_n•b_n+1=T_n-1b_nb_n+1=T_n-2b_n-1b_nb_n+1=…=b₁b₂b₃…b_n+1，
當(dāng)n≥2時，T_n=b₁b₂b₂…b_n（*），
當(dāng)n=1時，T₁=b₁適合（*）式
∴T_n=b₁b₂b₃…b_n（n∈N^*）．
∵b₁=-

1

2

，b₂=2b₁=-1，
b₃=-3b₁=

3

2

，b_n+3=b_n，
∴T₁=b₁=-

1

2

，T₂=T₁b₂=

1

2

，
T₃=T₂b₃=

3

4

，T₄=T₃b₄=T₃b₁=

3

4

T₁，
T₅=T₄b₅=T₂b₃b₄b₅=T₂b₁b₂b₃=

3

4

T₂，
T₆=T₅b₆=T₃b₄b₅b₆=T₃b₁b₂b₃=

3

4

T₃，
…
T_3n+1+T_3n+2+T_3n+3=T_3n-2b_3n-1b_3nb_3n+1+
T_3n-1b_3nb_3n+1b_3n+2+T_3nb_3n+1b_3n+2b_3n+3
=T_3n-2b₁b₂b₃+T_3n-1b₁b₂b₃+T_3nb₁b₂b₃
=

3

4

（T_3n-2+T_3n-1+T_3n），
∴數(shù)列{T_3n-2+T_3n-1+T_3n）（n∈N^*）是等比數(shù)列，
首項T₁+T₂+T₃=

3

4

且公比q=

3

4

，
記S_n=T₁+T₂+T₃+…+T_n，
①當(dāng)n=3k（k∈N^*）時，
S_n=（T₁+T₂+T₃）+（T₄+T₅+T₆）…+（T_3k-2+T_3k-1+T_3k）
=

3 4 [1-( 3 4 )k]

1- 3 4

=3[1-(

3

4

)k]．
∴

3

4

≤S_n＜3；
②當(dāng)n=3k-1（k∈N^*）時，
S_n=（T₁+T₂+T₃）+（T₄+T₅+T₆）+…+（T_3k-2+T_3k-1+T_3k）-T_3k
=3[1-(

3

4

)k]-(b1b2b3)k=3-4•(

3

4

)k．
∴0≤S_n＜3；
③當(dāng)n=3k-2（k∈N^*）時，
S_n=（T₁+T₂+T₃）+（T₄+T₅+T₆）+…+（T_3k-2+T_3k-1+T_3k）-T_3k-1-T_3k
=3[1-(

3

4

)k]-(b1b2b3)k-1b1b2-(b1b2b3)k
=3[1-(

3

4

)k]-

1

2

(

3

4

)k-1-(

3

4

)k
=3-

14

3

•(

3

4

)k．
∴-

1

2

≤Sn＜3．
綜上得：-

1

2

≤Sn＜3．
則p≤-

1

2

且q≥3．
∴q-p的最小值為

7

2

．

點評：本題考查了等差關(guān)系的判斷與應(yīng)用，考查了等比關(guān)系的判斷，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和與等比數(shù)列的前n項和，考查了數(shù)列不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是壓軸題．