Question

已知函數(shù)f(x)=

3

cos2x+sinxcosx-

3

2

．
（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）對于任意實(shí)數(shù)x∈[0，

π

4

]，恒有f（x）＞m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）二倍角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)，以及兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式，通過正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求解即可．
（2）通過x的范圍求出

π

3

≤2x+

π

3

≤

5π

6

，然后求出函數(shù)的最小值，即可推出m的范圍．

解答：解 （1）因?yàn)?span id="d22q7v4" class="MathJye">f(x)=

3

cos2x+sinxcosx-

3

2

=

3 (1+cos2x)

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=sin(2x+

π

3

)…（4分）
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

](k∈Z)…（7分）
（2）因?yàn)?span id="mk2e9dn" class="MathJye">x∈[0，

π

4

]，所以

π

3

≤2x+

π

3

≤

5π

6

，
所以

1

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1…．（11分）
要使f（x）＞m恒成立，所以m＜

1

2

．         …．（14分）

點(diǎn)評：本題考查二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值恒成立的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．