已知點，曲線上的動點滿足,定點，由曲線外一點向曲線引切線，切點為，且滿足.

（1）求線段長的最小值；

（2）若以為圓心所作的圓與曲線有公共點，試求半徑取最小值時圓的標準方程.

 

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、向量的點乘、平面內(nèi)兩點間距離公式等基礎(chǔ)知識.考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，利用向量的點乘求出點的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合找出，所以，然后配方法求最值；第二問，利用兩圓的位置關(guān)系列出不等式，用配方法求最值，得到圓心和半徑，寫出圓的標準方程.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)，則，

∴，

即點軌跡(曲線)方程為，即曲線是．      2分

連∵為切點，，由勾股定理有：．

又由已知，故．

即：，

化簡得實數(shù)間滿足的等量關(guān)系為：，即．（4分）

∴＝，

故當時，即線段長的最小值為     7分

（另法）由點在直線：上．

∴，即求點到直線的距離．

∴（7分）

（Ⅱ）設(shè)的半徑為，∵與有公共點，的半徑為1，

即且．      8分

而，     9分

故當時，．            10分

此時,．        11分

得半徑取最小值時的標準方程為．          13分

（另法）與有公共點，半徑最小時為與外切（取小者）的情形，而這些半徑的最小值為圓心到直線的距離減去1，圓心為過原點與垂直的直線與的交點．

．

又，（10分）

解方程組，得．即，

∴所求標準方程為．（13分）

考點：1.向量的點乘；2.圓的標準方程；3.勾股定理；4.配方法求最值.

 

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（本小題滿分12分）

已知點為圓上的動點，且不在軸上，軸，垂足為，線段中點的軌跡為曲線，過定點任作一條與軸不垂直的直線，它與曲線交于、兩點。

（I）求曲線的方程；

（II）試證明：在軸上存在定點，使得總能被軸平分

 

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已知點為圓上的動點，且不在軸上，軸，垂足為，線段中點的軌跡為曲線，過定點任作一條與軸不垂直的直線，它與曲線交于、兩點。

（I）求曲線的方程；

（II）試證明：在軸上存在定點，使得總能被軸平分

【解析】第一問中設(shè)為曲線上的任意一點，則點在圓上，

∴，曲線的方程為

第二問中，設(shè)點的坐標為，直線的方程為，　　………………3分　 　

代入曲線的方程，可得　

∵，∴

確定結(jié)論直線與曲線總有兩個公共點．

然后設(shè)點,的坐標分別, ，則，  

要使被軸平分，只要得到。

（1）設(shè)為曲線上的任意一點，則點在圓上，

∴，曲線的方程為．  ………………2分       

（2）設(shè)點的坐標為，直線的方程為，　　………………3分　 　

代入曲線的方程，可得　，……5分            

∵，∴，

∴直線與曲線總有兩個公共點．（也可根據(jù)點M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論）

………………6分

設(shè)點,的坐標分別, ，則，   

要使被軸平分，只要，            ………………9分

即，，        ………………10分

也就是，，

即，即只要　 ………………12分　 

當時，（＊）對任意的s都成立，從而總能被軸平分．

所以在x軸上存在定點，使得總能被軸平分

 

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已知點為圓上的動點，且不在軸上，軸，垂足為，線段中點的軌跡為曲線，過定點 任作一條與軸不垂直的直線，它與曲線交于、兩點。

   （1）求曲線的方程；

   （2）試證明：在軸上存在定點，使得總能被軸平分。

 

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