Question

如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬為2 m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a m，高度為b m，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60 m²，問(wèn)當(dāng)a、b各為多少時(shí)，沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小（A，B孔的面積忽略不計(jì)）.

Answer 1

解法一:設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y，由題意y=(k＞0)，其中k為比例系數(shù).

又據(jù)題設(shè)2×2b+2ab+2a=60（a＞0,b＞0），

∴b=(由a＞0,b＞0,可得a＜30),

∴y==.令t=a+2,則a=t-2,

從而==

=34-(t+)≤34-2=18,

∴y=

當(dāng)且僅當(dāng)t=,即t=8時(shí)取等號(hào),

∴a=6時(shí)取“=”.由a=6可得b=3.

綜上所述，當(dāng)a=6 m,b=3 m時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.

解法二:設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y，依題意y=，其中k為比例系數(shù)，k＞0,要求y的最小值,必須求解ab的最大值.

題設(shè)4b+2ab+2a=60,即ab+2b+a=30(a＞0,b＞0),∵a+2b≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)取“=”)，∴ab+2≤30,可解得0＜ab≤18.

由a=2b,及ab+a+2b=30,可得a=6,b=3.

即a=6,b=3時(shí)，ab取最大值，從而y值最小.

溫馨提示

形如y=的分式函數(shù)，求最值時(shí)常常等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=+bx(a＞0,b＞0,x＞0)，再求最值.等價(jià)轉(zhuǎn)化的步驟為:

（1）變量替換，目的是使分母變單項(xiàng)式，易分離系數(shù).

（2）分離系數(shù)，化歸成可用均值不等式求最值的問(wèn)題.

（3）變量換成z,注意z＞0.

（4）若滿足“一正、二定、三相等”，用均值不等式求解.

若不滿足“一正、二定、三相等”，用函數(shù)y=+bx的單調(diào)性求解.

此類(lèi)題常見(jiàn)的錯(cuò)誤是直接套用均值不等式，忽視等號(hào)取不到這一點(diǎn).