Question

已知m＞0，a，b∈R，求證：(

a+mb

1+m

)2≤

a2+mb2

1+m

．

Answer 1

分析：本題要證不等式要證(

a+mb

1+m

)2≤

a2+mb2

1+m

成立，兩邊同乘以公分母，只要證（a+mb）²≤（1+m）（a²+mb²），化簡整理即證m（a²-2ab+b²）≥0，即證（a-b）²≥0，而（a-b）²≥0顯然成立，得到原不等式成立．

解答：證明：∵m＞0，
∴1+m＞0，
∴要證(

a+mb

1+m

)2≤

a2+mb2

1+m

，
即證（a+mb）²≤（1+m）（a²+mb²），
即證m（a²-2ab+b²）≥0，
即證（a-b）²≥0，
而（a-b）²≥0顯然成立，
故(

a+mb

1+m

)2≤

a2+mb2

1+m

．

點(diǎn)評：本題是從題目的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直直至最后，把要證明結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯的成立的條件為止，這個(gè)明顯的條件可以是已知條件，定理，定義或公理．