Question

設(shè)x，y∈R，向量，且．
（1）求點M（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過點P（0，2）作直線l，交曲線C于A，B兩點，又O為坐標原點．若，求直線l的傾斜角．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)所給的向量的坐標和兩個向量的模長之和，得到點（x，y）表示到A（，0）與B（-，0）兩個點的距離之和等于定值4，且4＞2，得到點（x，y）在以A，B為焦點的橢圓上，且2a=4，a=2，c=，得到橢圓的方程．
根據(jù)題意設(shè)出直線的方程，設(shè)出要用的點的坐標，直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，整理出關(guān)于x的一元二次方程，整理判別式與兩根的和與積，得到縱標之積，根據(jù)所給的兩個向量的數(shù)量積，列出關(guān)于k的方程，得到結(jié)果．
解答：解：（1）∵向量，且．
∴=4
∴點（x，y）表示到A（，0）與B（-，0）兩個點的距離之和等于定值4，且4＞2=AB
∴點（x，y）在以A，B為焦點的橢圓上，且2a=4，a=2，c=
∴b²=4-3=1
∴橢圓的方程是；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵點P（0，2）作直線l，由題意知直線的斜率一定存在設(shè)為k，
∴直線的方程是y-2=k（x-0）
直線與橢圓的方程聯(lián)立得（1+4k²）x²+16kx+12=0
由△＞0得
，
∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=+4
∵O為坐標原點，，
∴
∴
∴k²=1，滿足使得判別式大于0，
∴k=±1
∵直線的傾斜角的范圍是[0，π）
∴直線的傾斜角是或．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的向量的模長的幾何意義，看出軌跡，再根據(jù)聯(lián)立方程來解決問題，注意方程聯(lián)立時，一元二次方程的形式不要出錯，注意驗證判別式大于0，本題是一個難題．