Question

如圖，正方形ABCD與等邊三角形ABE所的平面互相垂直，M、N分別是DE、AB的中點．
（Ⅰ）證明：MN∥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角M-AB-E的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證MN∥平面BCE，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證MN與平面BCE內(nèi)一直線平行，根據(jù)三角形的中位線可知MP∥AD∥BC，滿足定理條件；
（Ⅱ）先作二面角的平面角，作PO⊥AB于O點，連接OM，由平面ABCD⊥平面ABE，易得AD⊥平面ABE，再由線面垂直的性質(zhì)定理得出∴∠MOP為二面角M-AB-E的平面角，然后分別求得，兩直角邊AD，MP的長度即可．
解答：解：
（Ⅰ）證明：取AE的中點P，連接MP、NP．
由題意可得：MP∥AD∥BC，
又∵MP?平面BCE，BC?平面BCE
∴MP∥平面BCE，（3分）
同理可證NP∥平面BCE
∵MP∩NP=P
∴平面MNP∥平面BCE，又MN?平面MNP，
∴MN∥平面BCE（5分）
（其他做法請參照標準給分）
（Ⅱ）解：作PO⊥AB于O點，連接OM．
∵平面ABCD⊥平面ABE，AD⊥AB，
∴AD⊥平面ABE．
又MP∥AD
∴MP⊥平面ABE（7分）
又∵PO⊥AB，
∴MO⊥AB．
∴∠MOP為二面角M-AB-E的平面角．（9分）
設AD=2易得：，∴．（12分）
點評：本小題主要考查直線與平面平行的判定，以及直線與平面平行的判定、二面角的平面角及求法等有關知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．