Question

（2009•虹口區(qū)二模）袋中有形狀、質(zhì)地都相同的黑球、白球和紅球共10只，已知從袋中任意摸出一個(gè)球，得到黑球的概率為

2

5

，從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少得到一個(gè)白球的概率為

7

9

．
求（1）從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少得到一個(gè)黑球的概率；
（2）袋中白球的個(gè)數(shù)；
理（3）從袋中任意摸出三個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為ξ，寫出隨機(jī)變量ξ的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望Eξ

Answer 1

分析：（1）先求袋中的黑球的個(gè)數(shù)，從而得到其它求的個(gè)數(shù)，再利用對立事件求概率；
（2）根據(jù)從中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是

7

9

，寫出從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少得到一個(gè)白球的對立事件的概率，列出關(guān)于白球個(gè)數(shù)的方程，解方程即可．
（3）從袋中任意摸出3個(gè)球，白球的個(gè)數(shù)為ξ，根據(jù)題意得到變量可能的取值，結(jié)合對應(yīng)的事件，寫出分布列和期望．

解答：解：（1）由題意可得：袋中的黑球有10×

2

5

=4，所以其他球有6個(gè)，所以從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少得到一個(gè)黑球的概率為1-

C 2 6

C 2 10

=

2

3

；
（2）設(shè)袋中白球數(shù)為n．
設(shè)從中任摸2個(gè)球至少得到1個(gè)白球?yàn)槭录嗀，任取兩球無白球?yàn)槭录?span id="nn11tyx" class="MathJye">

.

A

，∴P(

.

A

)=1-

C 2 10-n

C 2 10

=

7

9

，解得n=5，即袋中有5個(gè)白球；
（3）隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，3，分布列是P(ξ=0)=

1

12

，P(ξ=1)=

5

12

，P(ξ=2)=

5

12

，P(ξ=3)=

1

12

∴ξ的數(shù)學(xué)期望 Eξ=

1

12

×0+

5

12

×1+

5

12

×2+

1

12

×3=

3

2

．

點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是離散型隨機(jī)變量的期望與方差，主要考查排列組合、概率等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，考查對立事件的概率，考查古典概型問題，是一個(gè)綜合題．