Question

【題目】已知函數f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（1）當a=3時，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）設 ，且a＞1，討論函數g（x）的單調性和極值點．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域為（0，+∞）．

當a=3時， ，

f'（1）=﹣1，f（1）=0．

所以曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為x+y﹣1=0

（2）解： ，x＞0，a＞1，

，

令F（x）=x2+2（1﹣a）x+1，其對稱軸為x=a﹣1＞0，△=4a（a﹣2）

①當△≤0，即1＜a≤2，F(xiàn)（x）≥0，g'（x）≥0，

g（x）在（0，+∞）單調遞增，無極值．

②當△＞0，即a＞2，

令g'（x）＞0，則 ，

令g'（x）＜0，則

所以，增區(qū)間為

減區(qū)間為

所以，極大值點是 ，極小值點是

綜上：當1＜a≤2時，f（x）在（0，+∞）單調遞增，無極值．

當a＞2時，f（x）在 上單調遞增，

在 上單調遞減；

極大值點是 ，極小值點是

【解析】（1）求出函數的導數，計算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的極值點即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．