(2013•徐州一模)在△ABC中,已知(sinA+sinB+sinC)(sinB+sinC-sinA)=3sinBsinC.
(1)求角A的值;
(2)求
3
sinB-cosC
的最大值.
分析:(1)利用正弦定理將(sinA+sinB+sinC)(sinB+sinC-sinA)=3sinBsinC轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系,再由余弦定理即可求得求角A的值;
(2)利用(1)中角A=60°,可求得B=120°-C,利用三角函數(shù)中的恒等變換可將
3
sinB-cosC轉(zhuǎn)化為關(guān)于角C的關(guān)系式,從而可求得其最大值.
解答:解:(1)∵(sinA+sinB+sinC)(sinB+sinC-sinA)=3sinBsinC,
∴(sinB+sinC)2-sin2A=3sinBsinC,
∴sin2B+sin2C-sin2A--sinBsinC=0,
由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R得:b2+c2-a2-bc=0,
又由余弦定理知,a2=b2+c2-2bccosA,
∴cosA=
1
2
,角A=60°.
(2)∵角A=60°,在△ABC中,A+B+C=180°,
∴B=120°-C,
3
sinB-cosC
=
3
sin(120°-C)-cosC
=
3
3
2
cosC-(-
1
2
)sinC)-cosC
=
1
2
cosC+
3
2
sinC
=sin(C+
π
6
),
∵C∈(0°,120°),
[sin(C+
π
6
)]
max
=1,即
3
sinB-cosC得最大值為1.
點評:本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,著重考查正弦定理與余弦定理,突出三角函數(shù)中的恒等變換及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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(2013•徐州一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦距為2,且過點(
2
,
6
2
)

(1)求橢圓E的方程;
(2)若點A,B分別是橢圓E的左、右頂點,直線l經(jīng)過點B且垂直于x軸,點P是橢圓上異于A,B的任意一點,直線AP交l于點M.
(�。┰O(shè)直線OM的斜率為k1,直線BP的斜率為k2,求證:k1k2為定值;
(ⅱ)設(shè)過點M垂直于PB的直線為m.求證:直線m過定點,并求出定點的坐標(biāo).

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(2013•徐州一模)已知函數(shù)f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a≠1).
(1)求函數(shù)f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)單調(diào)增區(qū)間;
(3)若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1(e是自然對數(shù)的底數(shù)),求實數(shù)a的取值范圍.

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(2013•徐州一模)如圖,兩座建筑物AB,CD的底部都在同一個水平面上,且均與水平面垂直,它們的高度分別是9m和15m,從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的張角∠CAD=45°.
(1)求BC的長度;
(2)在線段BC上取一點P(點P與點B,C不重合),從點P看這兩座建筑物的張角分別為∠APB=α,∠DPC=β,問點P在何處時,α+β最�。�

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•徐州一模)一個社會調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了如圖所示的頻率分布直方圖,現(xiàn)要從這10000人中再用分層抽樣的方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查,則月收入在[2500,3000)(元)內(nèi)應(yīng)抽出
25
25
人.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•徐州一模)選修:4-2:矩陣與變換
若圓C:x2+y2=1在矩陣A=
a,0
0,b
(a>0,b>0)對應(yīng)的變換下變成橢圓E:
x2
4
+
y2
3
=1
,求矩陣A的逆矩陣A-1

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同步練習(xí)冊答案
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