Question

已知函數(shù)f（x）=x²-1，設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)（x_n，y_n）處的切線與x軸的交點(diǎn)為（x_n+1，0），其中x₁為正實(shí)數(shù)．
（1）用x_n表示x_n+1；
（2）x₁=2，若a_n=lg

xn+1

xn-1

，試證明數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=

n(n+1)

2

，記數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由f（x）=x²-1，求出在曲線上點(diǎn)（x_n，f（x_n））處的切線方程，令y=0，能得到x_n表示x_n+1的表達(dá)式．
（2）由（1）得xn+1=

xn2+1

2xn

，由此利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則能推導(dǎo)a_n+1=2a_n，由此證明數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，并能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）由已知條件推導(dǎo)出b_n=n，從而得到anbn=n•2n-1lg3，由此利用錯(cuò)位相減法能求出{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²-1，∴f′（x）=2x，
∴在曲線上點(diǎn)（x_n，f（x_n））處的切線方程為y-f（x_n）=f′（x_n）（x-x_n），
即y-(xn2-1)=2x_n（x-x_n），
令y=0，得-（x_n²-1）=2x_n（x_n+1-x_n），
即xn2+1=2xnxn+1，
由題意得x_n≠0，∴xn+1=

xn2+1

2xn

．
（2）xn+1=

xn2+1

2xn

，
∴an+1=lg

xn+1+1

xn+1-1

=lg

xn2+1 2xn +1

xn2+1 2xn -1

=lg

xn2+2xn+1

xn2-2xn+1

=lg

(xn+1)2

(xn-1)2

=2lg

xn+1

xn-1

=2a_n，
即a_n+1=2a_n，
∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
∴an=a1•2n-1=lg

x1+1

x1-1

•2^n-1=2^n-1•lg3．
（3）當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，bn =S_n-S_n-1=

n(n+1)

2

-

n(n-1)

2

=n，
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=n，
∴數(shù)列{a_nb_n}的通項(xiàng)公式為anbn=n•2n-1lg3，
∴Tn=(1+2×2+3×22+…+n•2n-1)lg3 ①
①×2，得：2Tn=(1×2+3×22+…+n•2n)lg3，②
①-②得-T_n=（1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ）lg3
=（

1-2n

1-2

-n•2ⁿ）lg3
=（2ⁿ-1-n•2ⁿ）lg3，
∴Tn=(n•2n-2n+1)lg3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，有機(jī)地把函數(shù)、對(duì)數(shù)、導(dǎo)數(shù)融合為一體，綜合性強(qiáng)，難度大，是一道好題．