Question

【題目】一次足球邀請賽共安排了支球隊參加，每支球隊預(yù)定的比賽場數(shù)分別是，，…，．若任兩支球隊之間至多安排了一場比賽，則稱是一個“有效安排”．證明：若是一個有效安排，且，則可去掉一支球隊，并重新調(diào)整各隊之間的對局情況，使也是一個有效安排．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設(shè)預(yù)定比賽場的隊為．

（1）若的場比賽其對手恰好就是，，…，，則直接去掉（當然，所參與的所有比賽也就被取消了）．于是，剩下的隊，，…，之間的比賽，以為有效安排．

（2）若球隊，，…，中有些隊并未安排與比賽，設(shè)在，，…，中自左至右第一支未安排與比賽的隊是．

由于要賽場，于是，在，，…，之外必有一支球隊安排了與比賽（設(shè)為）．

又由于，故必有一支球隊，它被安排了與比賽而未安排與比賽，如圖所示．

下面對原安排作如下調(diào)整：

取消與、與的比賽，改為與、與進行比賽，其他比賽安排不變．

經(jīng)過這次調(diào)整后，所有球隊的比賽場數(shù)不變，且是一個有效安排．而第一支不與比賽的隊的序號至少后移了一個位置，故經(jīng)有限次這樣的調(diào)整之后，就變成了情形（1）．

因此，結(jié)論得證．