Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，直線PD與底面ABCD所成的角等于30°，PF=FB，E∈BC，EF∥平面PAC．
（1）試求若的值；
（2）求二面角P-DE-A的余弦值；
（3）求直線PC與平面PDE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用EF∥平面PAC，可得EF∥PC，根據(jù)PF=FB，可知BE=EC；
（2）以A為坐標原點，分別以AD，AB，AP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求出平面PDE的法向量、平面ADE的法向量，利用向量的夾角公式即可求得二面角P-DE-A的平面角；
（3）求出，平面PDE的法向量為，利用向量的夾角公式即可求得直線PC與平面PDE所成角的正弦值．
解答：解：（1）∵平面PBC∩平面PAC=PC，EF?平面PBC，EF∥平面PAC
∴EF∥PC
∵PF=FB，
∴BE=EC，即
（2）以A為坐標原點，分別以AD，AB，AP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系
∵PA⊥平面ABCD，PA=AB=1
∴直線PD與底面ABCD所成的角為∠PDA=30°，
∴AD=
則P（0，0，1），B（0，1，0），C（，1，0），E（）
∴，
設(shè)平面PDE的法向量為，∴，
∴，∴取z=1，可得
又平面ADE的法向量為
設(shè)二面角P-DE-A的平面角為θ，則=
（3）∵C（，1，0），∴
設(shè)直線PC與平面PDE所成角為α
∵平面PDE的法向量為
∴=
∴直線PC與平面PDE所成角的正弦值為
點評：本題考查線面平行的性質(zhì)，考查面面角，線面角，利用空間向量，熟練掌握線面平行的性質(zhì)是關(guān)鍵．