【題目】設函數(shù).

（1）證明：，都有；

（2）若函數(shù)有且只有一個零點，求的極值.

【答案】（1）見解析；（2）時，的極大值為e1，極小值為0．

【解析】

（1）令，求導得，利用導數(shù)判斷出的單調性，

從而求出的最大值，最大值小于0，則命題得證；

（2）由得，兩邊同時取對數(shù)整理得，則的零點

個數(shù)等于解的個數(shù)，令，求導，求出，得出

，令，求導，借助的單調性得

出的符號，從而求出極值.

（1）證明：令，則，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

所以的最大值為，即，

所以，都有．

（2）解：由得，則，所以，

所以的零點個數(shù)等于方程解的個數(shù)，

令，則，且，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，又因為，

且由（1）知，，則當時，，

所以時，有且只有一個解，

所以若函數(shù)有且只有一個零點，則，此時，

∴，

令，則，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，，

所以當時，，當時，，當時，，

∴當時，，則，則，

同理可得：當時，；當時，；

所以和分別是函數(shù)的極大值點和極小值點．

所以時，的極大值為e1，極小值為0．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】請解答以下問題，要求解決兩個問題的方法不同.

（1）如圖1，要在一個半徑為1米的半圓形鐵板中截取一塊面積最大的矩形，如何截��？并求出這個最大矩形的面積.

（2）如圖2，要在一個長半軸為2米，短半軸為1米的半個橢圓鐵板中截取一塊面積最大的矩形，如何截��？并求出這個最大矩形的面積.

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【題目】已知，函數(shù).

（1）若，證明：當時，；

（2）若是的極小值點，求的取值范圍.

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【題目】已知橢圓C：+y2＝1，不與坐標軸垂直的直線l與橢圓C相交于M，N兩點．

（1）若線段MN的中點坐標為 （1，），求直線l的方程；

（2）若直線l過點P（p，0），點Q（q，0）滿足kQM+kQN＝0，求pq的值．

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【題目】如圖，在三棱柱中，每個側面均為正方形，D為底邊AB的中點，E為側棱的中點.

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）若，求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，，二面角的大小為120°，點在棱上，且，點為的重心.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線C的極坐標方程是ρ＝6sinθ，建立以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸的平面直角坐標系．直線l的參數(shù)方程是，(t為參數(shù))．

(1)求曲線C的直角坐標方程；

(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且|AB|=，求直線的斜率k．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知直三棱柱中，，，是的中點，是上一點，且.

（1）證明：平面；

（2）求二面角余弦值的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知動點到定點的距離比到定直線的距離小1.

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點和.設線段， 的中點分別為，求證：直線恒過一個定點；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求面積的最小值.

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