Question

如圖，正方形ABCD所在平面與四邊形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°．

(1)求證：EF⊥平面BCE；

(2)設線段CD，AE的中點分別為P，M，求證：PM∥平面BCE．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)因為平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，BC⊥AB，所以BC⊥平面ABEF，所以BC⊥EF．又因為△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，所以∠AEB＝45°． 　　由∠BEF＝∠AEB＋∠AEF＝45°＋45°＝90°，知EF⊥BE． 　　因為BC平面BCE，BE平面BCE，BC∩BE＝B， 　　所以EF⊥平面BCE． 　　(2)取BE的中點N，連接CN，MN．因為P，M分別是CD，AE的中點，所以MN＝AB＝PC，且MN∥AB∥PC，所以四邊形PMNC為平行四邊形，所以PM∥CN．因為CN平面BCE，PM平面BCE，所以PM∥平面BCE． 　　點評：一般地，線線垂直(平行)或面面垂直(平行)都可轉化為線面垂直(平行)．同學們要學會靈活應用判定定理和性質定理解決問題．