Question

已知數(shù)列{a_n} 滿足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²

nπ

2

)an+sin2

nπ

2

a_n+sin²

nπ

2

，則該數(shù)列的前20項(xiàng)的和為

 

．

Answer 1

分析：通過對(duì)n的奇偶性的討論，得到數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)是常數(shù)列1；偶數(shù)項(xiàng)是常數(shù)列2，利用分組法求出數(shù)列的前20項(xiàng)的和．

解答：解：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n+2=a_n+1
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n+2=2a_n，
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)是公差為1的等差數(shù)列，其前10項(xiàng)和為

(1+10)×10

2

=55；
偶數(shù)項(xiàng)是公差為2的等比數(shù)列，其前10項(xiàng)和為

2(1-210)

1-2

=2046，
∴該數(shù)列的前20項(xiàng)的和55+2046=2101；
故答案為2101．

點(diǎn)評(píng)：求數(shù)列的前n項(xiàng)和，首先求出數(shù)列的通項(xiàng)，利用通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的求和方法．