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橢圓的中心是原點O，它的短軸長為2，相應于焦點F(c，0)(c＞0)的準線l與x軸相交于點A，｜OF｜＝2｜FA｜，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點．

(1)

求橢圓的方程及離心率

(2)

若·＝0，求直線PQ的方程

(3)

設＝λ(λ＞1)，過點P且平行于準線l的直線與橢圓相交于另一點M，證明：－λ．

答案：
解析：

(1)

　　解：由題意，可設橢圓的方程為＋=1(a＞)

　　由已知得∴a=，c=2，

　　∴橢圓的方程為＋=1，e=．

　　分析：本題考查橢圓的標準方程及幾何性質，直線方程，平面向量的計算，曲線和方程的關系以及解析幾何的基本思想方法和綜合解題的能力．

(2)

　　由(1)得A(3，0)．設直線PQ的方程為y=k(x－3)，則得(3k2十1)x2－18k2x＋27k2－6=0．

　　依題意得△=12(2－3k2)＞0，得－＜k＜．

　　設P(x1，y2)，Q(x2，y2)，則　

　　由直線PQ的方程得y1=k(x1－3)，y2=k(x2－3)，∴y1y2=k2(x1－3)(x2－3)=k2[x1x2－3(x1＋x2)＋9]．　　　　　　�、�

　　∵·=0，∴x1x2＋y1y2=0．　�、�

　　由①、②、③、④得5k2=1，∴k=±∈．

　　∴直線PQ的方程為x－y－3=0或x十y－3=0．

(3)

　　=(x1－3，y1)，=(x1－3，y2)，由已知得方程組

　　注意λ＞1，解得x2=．

　　∵F(2，0)，M(x1，－y1)，

　　∴=(x1－2，－y1)=(λ(x2－3)十1，－y1)－(，－y1)=－λ(，y2)．

　　而=(x2－2，y2)=(，y2)，

　　∴=－λ．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

橢圓的中心是原點O，它的短軸長為2
2
，相應于焦點F（c，0）（c＞0）的準線l與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點．
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）若
OP
•
OQ
=0，求直線PQ的方程；
（3）設
AP
=λ
AQ
（λ＞1），過點P且平行于準線l的直線與橢圓相交于另一點M，證明
FM
=-λ
FQ
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

橢圓的中心是原點O，它的短軸長為2
2
，相應于焦點F（c，0）（c＞0）的準線l與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點．
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）若
OP
•
OQ
=0，求直線PQ的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

橢圓的中心是原點O，短軸長為2
3
，左焦點為F（-c，0）（c＞0），相應的準線l與x軸交于點A，且點F分
AO
的比為3，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若PF⊥QF，求直線PQ的方程；
（Ⅲ）設
AQ
=λ
AP
（λ＞1），點Q關于x軸的對稱點為Q′，求證：
FQ′
=-λ
FP
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•煙臺二模）已知橢圓的中心是原點O，焦點在x軸上，過其右焦點F作斜率為1的直線l交橢圓于A．B兩點，若橢圓上存在一點C，使四邊形OACB為平行四邊形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若△OAC的面積為15
5
，求這個橢圓的方程．

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科目：高中數學 來源：2012年蘇教版高中數學選修1-1 2.2橢圓練習卷（解析版） 題型：解答題

橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應于焦點F（c，0）（）的準線與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點 .

（1）求橢圓的方程及離心率；

（2）若，求直線PQ的方程；

（3）設（），過點P且平行于準線的直線與橢圓相交于另一點M，證明.

 

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