已知數(shù)列中,,且)。
(I)    求的值及數(shù)列的通項公式;
(II)  (II)令,數(shù)列的前項和為,試比較的大小;
(III)令,數(shù)列的前項和為,求證:對任意,都有。
(I)解:當時,,(1分)
時,。(2分)
因為,所以。(3分)
時,由累加法得,
因為,所以時,有
。
時,,
。(5分)
(II)解:時,,則。
記函數(shù),
所以
0。
所以。(7分)
由于,此時;
,此時;
,此時;
由于,故時,,此時。
綜上所述,當時,;當時,。(8分)
(III)證明:對于,有。
時,。
所以當時,

。
故對,得證。(10分)
本試題主要是考查了數(shù)列的通項公式與求和的綜合運用,以及數(shù)列與不等式的關(guān)系的運用。
(1)利用已知的遞推關(guān)系得到數(shù)列的前幾項的值,并整體變形構(gòu)造等差數(shù)列求解通項公式。
(2)利用第一問的結(jié)論,結(jié)合分組求和的思想和等比數(shù)列的求和得到結(jié)論。
(3))先分析通項公式的特點,然后裂項求和,證明不等是的成立問題。
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本題滿分14分)
設(shè)數(shù)列的前項和為,已知,
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若,數(shù)列的前項和為,證明:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分)
已知數(shù)列是一個等差數(shù)列,且,.(1)求的通項;
(2) 求項和

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

設(shè)數(shù)列的前項和為,則下列說法錯誤的是     .
①若是等差數(shù)列,則是等差數(shù)列;
②若是等差數(shù)列,則是等差數(shù)列;
③若是公比為的等比數(shù)列,則也是等比數(shù)列且公比為
④若是公比為的等比數(shù)列,則也是等比數(shù)列且公比為.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知為等差數(shù)列,且,。
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)若等比數(shù)列滿足,,求數(shù)列的前n項和。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知等差數(shù)列的前n項和分別為,且,則的值為()
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

在數(shù)列中,,,則
A.2009B.2010C.2011D.2012

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

等差數(shù)列中,,且,則      .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知數(shù)列的前n項和,第k項滿足,則k=_______

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