Question

已知函數(shù)，其中且.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)相異的零點(diǎn).

(i)求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(ii)求證：.

Answer 1

（Ⅰ），                                          

由于，所以，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.                  

(Ⅱ) ，。令。

（i）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。

所以，即。                              

所以。                                                              

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，要使在上有兩個(gè)相異零點(diǎn)，則，此時(shí)方程無(wú)解。

綜上所得，實(shí)數(shù)的取值范圍為。                                    

（ii）證明：先證明不等式：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，。

令，則，則在單調(diào)遞減，又，所以，即對(duì)任意的，。    

由（Ⅰ）得函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)（不妨設(shè)）滿足，故。

由于，又由（Ⅰ）得在單調(diào)遞減，從而，即。