Question

如圖，三棱錐C-ABD中，AB=AD=BD=BC=CD=2，O為BD的中點，∠AOC=120°，P為AC上一點，Q為AO上一點，且

AP

PC

=

AQ

QO

=2．
（Ⅰ）求證：PQ∥平面BCD；
（Ⅱ）求三棱錐P-ABD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由

AP

PC

=

AQ

QO

，可得PQ∥CO，利用線面平行的判定定理證明PQ∥平面BCD；
（Ⅱ）利用VP-ABD=

2

3

VC-ABD，求三棱錐P-ABD的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵

AP

PC

=

AQ

QO

，
∴PQ∥CO…（1分）
又∵PQ?平面BCD，CO?平面BCD…（2分）
∴PQ∥平面BCD…（3分）
（Ⅱ）解：由等邊△ABD，等邊△BCD，O為BD的中點得：BD⊥AO，BD⊥OC，AO∩OC=O，∴BD⊥平面AOC…（5分）
在△AOC中，OA=OC=

3

，∠AOC=120°，∴S△AOC=

1

2

OA•OC•sin∠AOC=

3 3

4

…（7分）
∴VC-ABD=

1

3

S△AOC•BD=

1

3

•

3 3

4

•2=

3

2

…（9分）
∵

AP

PC

=2，∴VP-ABD=

2

3

VC-ABD=

2

3

•

3

2

=

3

3

…（13分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，難度中等．