Question

已知曲線(xiàn)及點(diǎn)，求過(guò)點(diǎn)的曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程.

Answer 1

或

【錯(cuò)解分析】，過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)斜率，過(guò)點(diǎn)的曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程為.曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率是該曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，這是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.在此題中，點(diǎn)湊巧在曲線(xiàn)上，求過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程，卻并非說(shuō)切點(diǎn)就是點(diǎn)，上述解法對(duì)求過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程和求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，認(rèn)識(shí)不到位，發(fā)生了混淆.
【正解】設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)與曲線(xiàn)切于點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率
，又，。①
點(diǎn)在曲線(xiàn)上，②，
②代入①得
化簡(jiǎn)，得，
或.
若，則，過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為；
若，則，過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為
過(guò)點(diǎn)的曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程為或
【點(diǎn)評(píng)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線(xiàn)數(shù)在某點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率．所以求切線(xiàn)的方程可通過(guò)求導(dǎo)數(shù)先得到斜率，再由切點(diǎn)利用點(diǎn)斜式方程得到，求過(guò)點(diǎn)p（x₀，y₀）的切線(xiàn)方程時(shí)，一要注意p（x₀，y₀）是否在曲線(xiàn)上，二要注意該點(diǎn)可能是切點(diǎn)，也可能不是切點(diǎn)，因而所求的切線(xiàn)方程可能不只有1條