Question

如圖1，以正方體的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，點(diǎn)P在正方體的對(duì)角線AB上，點(diǎn)Q在正方體的棱CD上．

圖1

(1)當(dāng)點(diǎn)P為對(duì)角線AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究的最小值；

(2)當(dāng)點(diǎn)Q為棱CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在對(duì)角線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究的最小值；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在棱CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究的最小值．

由以上問題，你得到了什么結(jié)論，你能證明你的結(jié)論嗎？

Answer 1

答案：略
解析：

解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a． (1)當(dāng)點(diǎn)P為對(duì)角線AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是 因?yàn)辄c(diǎn)Q在線段CD上，設(shè)Q(0，a，z)． 當(dāng)時(shí)，的最小值為，即點(diǎn)Q在CD的中點(diǎn)時(shí)，有最小值． (2)因?yàn)?/FONT>P在對(duì)角線AB上運(yùn)動(dòng)，Q是定點(diǎn)，所以當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，最短．因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)Q為棱CD的中點(diǎn)時(shí)，△QAB是等腰三角形，所以，當(dāng)P是AB的中點(diǎn)時(shí)，取得最小值． (3)當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在棱CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值仍然是． 證明如下：如圖2，設(shè)由正方體的對(duì)稱性，顯然有x=y． 設(shè)P在平面OA上的射影是H．在△AOB中，所以 即有 圖2 所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)是 由已知，可設(shè)則 當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值是．