已知向量
a
，
b
滿足|
a
|=|
b
|=1，且|
a
-k
b
|=
3
|k
a
+
b
|，其中k＞0，
（1）試用k表示
a
•
b
，并求出
a
•
b
的最大值及此時(shí)
a
與
b
的夾角為θ的值；
（2）當(dāng)
a
•
b
取得最大值時(shí)，求實(shí)數(shù)λ，使|
a
+λ
b
|的值最小，并對(duì)這一結(jié)果作出幾何解釋?zhuān)?/div>
分析：（1）由已知可得
a
•
b
=-（ 
k
4
+
1
4k
），利用基本不等式可得
k
4
+
1
4k
≥2×
1
4
=
1
2
，故
a
•
b
≤-
1
2
，此時(shí)，
a
•
b
=-
1
2
=1×1cosθ，θ=120°．
（2）當(dāng)
a
•
b
取得最大值時(shí)，
a
•
b
=-
1
2
=
1 -λ+λ2
，故當(dāng)λ=
1
2
 時(shí)，|
a
+λ
b
|的最小值等于
3
2
，
這一結(jié)果的幾何解釋?zhuān)浩叫兴倪呅蜲ABC中，OA=1，∠AOC=120°，當(dāng)且僅當(dāng)OC=
1
2
時(shí)，對(duì)角線OB最短為
3
2
．
解答：解：（1）∵|
a
|=|
b
|=1，|
a
-k
b
|=
3
|k
a
+
b
|，
∴
a
2-2k
a
•
b
+k2
b
2=3k2
a
2+6k
a
•
b
+3 
b
2，∴1-2k
a
•
b
+k2=3k2+6k
a
•
b
+3，
∴
a
•
b
=-（ 
k
4
+
1
4k
）．∵
k
4
+
1
4k
≥2×
1
4
=
1
2
，
∴
a
•
b
≤-
1
2
，當(dāng)且僅當(dāng)
k
4
=
1
4k
，即k=1時(shí)，取等號(hào)．
此時(shí)，
a
•
b
=-
1
2
=1×1cosθ，∴θ=120°．
（2）當(dāng)
a
•
b
取得最大值時(shí)，
a
•
b
=-
1
2
，|
a
+λ
b
|=
|
a
+λ
b
|2
=
1+2λ•
a
•
b
+λ2
=
1 -λ+λ2
，
故當(dāng)λ=
1
2
 時(shí)，|
a
+λ
b
|的最小值等于
1-
1
2
+
1
4
=
3
2
，
這一結(jié)果的幾何解釋?zhuān)浩叫兴倪呅蜲ABC中，OA=1，∠AOC=120°，當(dāng)且僅當(dāng)OC=
1
2
時(shí)，對(duì)角線OB最短為
3
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求向量的模的方法，基本不等式的應(yīng)用，是一道中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
，
b
滿足|
a
+
b
|=
3
|
a
-
b
|，|
a
|=|
b
|=1，則|
3a
-2
b
|的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
，
b
滿足|
a
|=2，|
b
|=1，
a
與
b
的夾角為60°，則|
a
-2
b
|等于
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
，
b
滿足|
a
|=
2
，|
b
|=3，
a
與
b
的夾角為45°，求|3
a
-
b
|的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量a，b滿足|a|=2，|b|=3，|2a+b|=
37
，則a與b的夾角為（　　）
A、30°B、45°
C、60°D、90°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•浙江模擬）已知向量
a
，
b
滿足|
a
|=2|
b
|≠0，且關(guān)于x的函數(shù)f（x）=2x3+3|
a
|x2+6
a
•
b
x+5 在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，則向量
a
，
b
的夾角的取值范圍是（　�。�

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