若數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=
1
pn-q
，實(shí)數(shù)p，q滿(mǎn)足p＞q＞0且p＞1，sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．
（1）求證：當(dāng)n≥2時(shí)，pan＜an-1；
（2）求證sn＜
p
(p-1)(p-q)
(1-
1
pn
)；
（3）若an=
1
(2n-1)(2n+1-1)
，求證sn＜
2
3
．
分析：（1）利用通項(xiàng)及實(shí)數(shù)p，q滿(mǎn)足p＞q＞0且p＞1，即可證得；
（2）由（1）進(jìn)行放縮，再求和，即可得到結(jié)論；
（3）對(duì)通項(xiàng)i型放縮，再利用等比數(shù)列的求和公式，即可證得．
解答：證明：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，pan=
1
pn-1-
q
p
＜
1
pn-1-q
=an-1
∴pan＜an-1…（2分）
（2）由（1）得an＜
1
p
an-1＜
1
p2
an-2＜…＜
1
pn-1
a1…（4分）
所以
n
i=1
ai＜(
1
pn-1
+
1
pn-2
+…+
1
p
)a1=
p
(p-1)(p-q)
(1-
1
pn
)
所以Sn＜
p
(p-1)(p-q)
(1-
1
pn
)…（6分）
（3）an=
1
(2n-1)(2n+1-1)
＜
1
2n+1(2n-
3
2
)

由（1）得
1
2n-
3
2
＜
1
2
×
1
2n-1-
3
2
＜
1
22
×
1
2n-2-
3
2
＜…＜
1
2n-1
×
1
2-
3
2
=2×
1
2n-1

所以an＜
2
4n
…（8分）
所以Sn＜
1
3
+(
2
42
+
2
43
+…+
2
4n
)＜
2
3

所以Sn＜
2
3
…（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查等比數(shù)列的求和公式，考查放縮法的運(yùn)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為
a
 
n
=5×(
2
5
)2n-2-4×(
2
5
)n-1(n∈N+)，{an}的最大值為第x項(xiàng)，最小項(xiàng)為第y項(xiàng)，則x+y等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
4x+2
（x∈R）．
（1）已知點(diǎn)(1，
1
6
)在f（x）的圖象上，判斷其關(guān)于點(diǎn)(
1
2
，
1
4
)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是否仍在f（x）的圖象上；
（2）求證：函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(
1
2
，
1
4
)對(duì)稱(chēng)；
（3）若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=f(
n
m
)（m∈N*，n=1，2，…，m），求數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和Sm．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=
1
4x+2
(x∈R)，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是函數(shù)y=f（x）圖象上兩點(diǎn)，且線(xiàn)段P1P2中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是
1
2
．
（1）求證點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是定值； 
（2）若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=f(
n
m
)（m∈N*），n=1，2…m），求數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和Sm； 
（3）在（2）的條件下，若m∈N*時(shí)，不等式
am
Sm
＜
am+1
Sm+1
恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2003•北京）若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=
3-n+(-1)n3-n
2
，n=1，2，…，則
lim
n→∞
(a1+a2+…+an)等于（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•寶山區(qū)一模）若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=3-n+(-2)-n+1，則 
lim
n→∞
(a1+a2+…+an)=
7
6
7
6
．

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