已知雙曲線方程為,橢圓C以該雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),頂點(diǎn)為焦點(diǎn)。
(1)當(dāng),時(shí),求橢圓C的方程;
(2)在(1)的條件下,直線軸交于點(diǎn)P,與橢圓交與A,B兩點(diǎn),若O為坐標(biāo)原點(diǎn),面積之比為2:1,求直線的方程;
(3)若,橢圓C與直線有公共點(diǎn),求該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值。

解:(1)設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為,則橢圓C的方程為
,其中
代入,可得橢圓C的方程為
;
(2)根據(jù)題意,設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為,則,可
知。
聯(lián)立橢圓和直線的方程,得
,消元得,可知
,,即異號(hào),所以。
代入上式,得
消元,得。
所以直線方程為
(3)聯(lián)立橢圓和直線的方程,得方程組
,其中,
消去,得到方程
,
因?yàn)闄E圓與直線有公共點(diǎn),所以
,
解得,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)長(zhǎng)軸長(zhǎng)最短,是。
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