Question

已知函數f（x）=a²lnx，g（x）=-

(a+1)•ex

x+1

，a為常數，且a≠0．
（Ⅰ）令h（x）=f（x）-

(a+1)(x-1)

x

，求h（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）設a＞0，且當x₁，x₂∈（0，1]，x₁≠x₂時，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導數的運算法則可得h^′（x）=

a2

x

-

a+1

x2

=（x＞0），再對a分類討論即可得出其單調性；
（II）不妨設0＜x₁＜x₂≤1．利用導數可得g（x）的單調性，由f（x）得單調性易得，即可把問題轉化為f（x₂）-f（x₁）＞g（x₁）-g（x₂），即f（x₂）+g（x₂）＞f（x₁）+g（x₁）．令F（x）=f（x）+g（x），由F（x₂）＞F（x₁），可得F（x）在（0，1]上遞增，
于是對x∈（0，1]F^′（x）≥0恒成立．通過分離參數等價轉化，利用導數即可得出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵h（x）=a2lnx-

(a+1)(x-1)

x

，∴h^′（x）=

a2

x

-

a+1

x2

=

a2x-(a+1)

x2

（x＞0），
①當a≤-1時，h^′（x）≥0，∴h（x）的單調遞增區(qū)間為：（0，+∞）．
②當a＞-1且a≠0時，令h^′（x）≥0，解得x＞

a+1

a2

；h^′（x）＜0，解得0＜x＜

a+1

a2

．
∴h（x）的單調遞增區(qū)間為：(

a+1

a2

，+∞)，單調遞減區(qū)間為：(0，

a+1

a2

)．
（Ⅱ）不妨設0＜x₁＜x₂≤1．
∵f（x）在（0，1]上遞增，∴f（x₁）＜f（x₂）．
而g′(x)=-

a+1

(x+1)2

•ex•x，
∵a＞0，∴g^′（x）＜0，∴g（x）在（0，1]上遞減，
∴g（x₁）＞g（x₂）．
故由題意得：f（x₂）-f（x₁）＞g（x₁）-g（x₂），
即f（x₂）+g（x₂）＞f（x₁）+g（x₁）．
令F（x）=f（x）+g（x）=a2lnx-

(a+1)ex

x+1

，
則F（x₂）＞F（x₁），∴F（x）在（0，1]上遞增，
∴F′(x)=

a2

x

-

(a+1)ex•x

(x+1)2

≥0對x∈（0，1]恒成立．
即 

a+1

a2

≤

(x+1)2

ex•x2

 對x∈（0，1]恒成立．                
再設G（x）=

(x+1)2

ex•x2

，
∵G^′（x）=-

(x+1)(x2+x+2)

ex•x3

＜0，∴G（x）在（0，1]上單調遞減．
∴G(x)min=G(1)=

4

e

．
∴

a+1

a2

≤

4

e

，
解得：a≤

1- 17

8

e或a≥

1+ 17

8

e．∴實數a的取值范圍為：a≥

1+ 17

8

e．

點評：本題綜合考查了利用導數研究函數的單調性、極值與最值、把恒成立問題通過分離參數等價轉化利用導數研究其最值等基礎知識與基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力和計算能力．